Теорема вероятности суммы совместных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е.

р(А+В) = р(А) + р(В) – р(А∙В) . (1.11)

Доказательство. Действительно, представим событие А + В , состоящее в наступлении хотя бы одного из двух событий А и В, в виде суммы трёх несовместных событий:

А+В = А∙+∙В+А∙В.

Тогда по теореме сложения: р(А+В) = р(А∙) + р(∙В) + р(А∙В).

Учитывая, что А = А∙+А∙В, р(А) = р(А∙) + р(А∙В), получим р(А∙) = р(А) – – р(А∙В). Аналогично, В = ∙ В + А∙В, р(∙В) = р(В) – р(А∙В). Подставляя выражения для р(А∙) и р(∙В) в выражение для р(А + В), получим:

p(А + В) = p(А) – p(А∙В) + p(В) – p(А∙В) + p(А∙В) = p(А) + p(В) – p(А∙В). Чт.и.д.

Расчленение суммы двух зависимых событий поясняется на рисунке ниже.

А+В = А∙ + ∙ В + А∙В.

Замечание. Для суммы трёх и более совместных событий формула вероятности суммы р(А₁ + А₂ + … + А_n ) является очень громоздкой, поэтому при расчёте вероятности такой совокупности переходят к противоположному событию :

= = ∙ ∙ … ∙

Тогда

р(А₁ + А₂ + … + А_n) = 1– р() или р(А₁ + А₂ + … + А_n) = 1– р(А₁ ∙ А₂ ∙ А₃ … А_n ),

т.е. вероятность суммы нескольких совместных событий А₁, А₂, … , А_n равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий , , … , . Если события А₁, А₂, … , А_n – независимые, то

р(А₁ + А₂ + … + А_n) = 1 – р( ) ∙ р()∙ … ∙ р(). ( 1.12 )

В частном случае, когда вероятности независимых событий одинаковы, то вместо формулы (1.12) имеет место формула

р(А₁ +А₂ +… +А_n) = 1 – ( 1 – р )ⁿ . (1.13)