Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е.
р(А+В) = р(А) + р(В) – р(А∙В) . (1.11)
Доказательство. Действительно, представим событие А + В , состоящее в наступлении хотя бы одного из двух событий А и В, в виде суммы трёх несовместных событий:
Тогда по теореме сложения: р(А+В) = р(А∙) + р(
∙В) + р(А∙В).
Учитывая, что А = А∙+А∙В, р(А) = р(А∙
) + р(А∙В), получим р(А∙
) = р(А) – – р(А∙В). Аналогично, В =
∙ В + А∙В, р(
∙В) = р(В) – р(А∙В). Подставляя выражения для р(А∙
) и р(
∙В) в выражение для р(А + В), получим:
p(А + В) = p(А) – p(А∙В) + p(В) – p(А∙В) + p(А∙В) = p(А) + p(В) – p(А∙В). Чт.и.д.
Расчленение суммы двух зависимых событий поясняется на рисунке ниже.
Замечание. Для суммы трёх и более совместных событий формула вероятности суммы р(А1 + А2 + … + Аn ) является очень громоздкой, поэтому при расчёте вероятности такой совокупности переходят к противоположному событию :
Тогда
р(А1 + А2 + … + Аn) = 1– р() или р(А1 + А2 + … + Аn) = 1– р(А1 ∙ А2 ∙ А3 … Аn ),
т.е. вероятность суммы нескольких совместных событий А1, А2, … , Аn равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий ,
, … ,
. Если события А1, А2, … , Аn – независимые, то
р(А1 + А2 + … + Аn) = 1 – р( ) ∙ р(
)∙ … ∙ р(
). ( 1.12 )
В частном случае, когда вероятности независимых событий одинаковы, то вместо формулы (1.12) имеет место формула
р(А1 +А2 +… +Аn) = 1 – ( 1 – р )n . (1.13)