Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. .

Действительно, , т.к. свойству 1 математического ожидания.

2. Постоянный множитель, входящий под знак дисперсии, можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. .

Действительно,

3. Дисперсия суммы двух (и более) независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин т.е. .

Действительно, по определению дисперсии , но . Подставляя правую часть последнего соотношения в предыдущую формулу и используя свойство 3 математического ожидания, получим

Здесь есть корреляционный момент, который для независимых случайных величин равен нулю. В силу этого для независимых случайных величин получим .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин.

5. Дисперсия случайной величины не изменится, если эта случайная величина складывается с постоянной, т.е.

6. Если случайные величины и независимы, то

(без доказательства).

Свойства дисперсии, приведенные выше для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Замечание 1. Из свойств дисперсии следуют соответствующие свойства среднеквадратичного отклонения, т.е.

; ; .

Замечание 2. Иногда для изучения свойств случайных процессов случайную величину приводят к стандартному виду, осуществляя её центрирование и нормирование. При этом начало координат переносится в точку с абсциссой (центрируют в эту точку), а нормирование центрированной случайной величины осуществляют путем её деления на , т.е. в качестве принимают отношение .

Для стандартной случайной величины получим:

.