Свойства математического ожидания

Здесь рассматриваются наиболее важные свойства математического ожидания для дискретных случайных величин.

1). Математическое ожидание для закона распределения с постоянной случайной величиной равно этой постоянной величине, т.е.

Действительно, . Таким образом, эта случайная величина принимает лишь одно значение с вероятностью .

2).Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

Действительно,

3). Математическое ожидание суммы двух или более случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин, т.е.

.

Докажем это свойство на примере двух дискретных случайных величин с рядами распределения:

(3.11)

Составим все возможные значения величин X + Y:

Тогда имеем

Но событие, состоящее в том, что Х примет значение (его вероятность равна ) влечет за собой событие, состоящее в том, что X+Y примет значение или (его вероятность равна ) и обратно. Отсюда следует, что Аналогично, доказывается, что , , . Тогда:

.

Доказанное соотношение справедливо для произвольного числа слагаемых, а также для разности, т.е. .

4). Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

Докажем это свойство также на примере двух простейших случайных величин с рядами (3.11). Для этого составим все возможные значения величин

Тогда получим

5) Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Действительно, будем иметь:

.

Замечание. Все свойства математического ожидания, доказанные для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Имеет место следующее важное утверждение:

Математическое ожидание числа появления события А в одном испытании равно вероятности этого события.

Действительно, пусть вероятность события А равна p. Из условия задачи имеем ряд распределения:

Тогда т.е. .

Пример. Приведем пример на применение рассмотренного утверждения. Пусть производится три выстрела с вероятностью попадания для 1-го выстрела ; для 2-го выстрела ; для 3-го выстрела Найти общего числа попаданий.

Решение. В соответствии с приведенным выше утверждением:

Тогда: