Теорема Чебышева

Рассмотрим последовательность независимых случайных величин

Х₁, Х₂,…, Х_n,…=

Определение (сходимость последовательности по вероятности).

Последовательность называется сходящейся по вероятности к величине а (случайной или не случайной), если при “e > 0 выполняется условие

Теорема. Если случайные величины Х₁, Х₂,…, Х_n,… независимы и существует такое число С>0, что D(Х_i) £ C, (i = 1,2,…), то для любого e > 0 выполняется условие

т.е. среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий

Это соотношение получается из (2) при условии D(Х_i) £ C, (i = 1,2,…)

, т.е.

Отсюда следует, что

Пример. Сколько надо произвести замеров размера деталей, чтобы средний размер отличался от истинного значения не более, чем на 2м с вероятностью не менее 0,95, если известно, что среднеквадратическое отклонение s £ 10м (С=10м).