Вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от его математического ожидания

При решении практических задач по контролю технологических процессов возникают задачи вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеивания, т.е. математического ожидания . Данный интервал длины берется на числовой оси x, где значение x соответствуют случайной величине X. В этом случае вероятность

принадлежности – окрестности будет равна:

Таким образом, вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания выражается формулой

(3.23)

Последняя формула может использоваться как в прямых задачах: по известному и заданному числу найти вероятность , так и в обратных задачах: по известному и заданной вероятности определяется отклонение контролируемого размера (детали, сооружения) от его среднего значения a.

Пример 2. На станке изготавливается деталь. Её контрольный размер есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами линейных единиц и линейной единицы.

а) Какое отклонение контрольного размера от величины «» можно гарантировать с вероятностью 0.9?

б) Найти также вероятность отклонения контрольного размера от не более, чем на 1,4 единицы, 2 единицы.

Решение. а). Отклонение контрольного размера от величины «a» с вероятностью найдем с использованием формулы (3.23) (обратная задача). Так как вероятность этого события известна, то из формулы найдем Далее по таблице приложения 2 и по известному значению функции определяется величина аргумента функции Лапласа. Получим единиц. Таким образом, с вероятностью гарантируется отклонение контрольного размера не более чем на 2,46 единиц, т.е. принадлежит (рисунок 3.24).

Pис. 3.24

б) Вероятность отклонения контрольного размера не более чем, на 1.4 единицы находится непосредственно по формуле (3.23) (прямая задача). В этом случае и

Для имеем

Из полученных результатов видно, что большее отклонение от среднего размера обеспечивается с большей вероятностью, что соответствует качественной оценке этого результата.