Задачи

22 января 2015 в 19:35

Два стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9 и 0,8. Какова вероятность того, что при одном залпе хотя бы один из них попадёт в мишень? Решение. Пусть события А и В – соответственно попадание в мишень 1-го и 2-го стрелка. Тогда С = А + В. События А и В – совместные. Поэтому по формуле (1.11) для суммы двух совместных событий получим р(А + В) = р(А) + р(В) ...

В спортивных состязаниях по некоторому виду спорта принимают участие 20 человек. Борьба в личном первенстве идет за 1-е, 2-е и 3-е места. Сколькими способами эти места могут быть распределены между участниками состязаний, если все они в равной степени могут претендовать на любые призовые места? Решение. Число способов соответствует числу размещений N, т.к. призовые места могут ...

За круглым столом рассаживаются 7 мужчин и 7 женщин. Найти вероятность того, что а) никакие два лица одного пола не сядут рядом, б) мужчины и женщины сядут рядом? Решение. а) Пусть событие А – никакие два лица одного пола не сядут рядом. Общее число способов рассадки 14 лиц на 14 местах определяется числом перестановок n = Р14 = 14!. Если женщины займут чётные места 7! ...

В условии задачи 6 найти вероятность того, что обоим потребителям бракованные изделия попадут поровну. Решение. Пусть событие В – в каждой партии по 3 бракованных изделия. В этом случае событию В будут благоприятствовать исходы, когда из 40 изделий, отправленных одному потребителю, будут 37 не бракованных из 74 и 3 бракованных из 6, их число m = С ∙ С. Следовательно, р(В) = ...

Партия состоит из 80 изделий, из которых 6 бракованных. Партия разделена на две равных части, которые отправлены двум потребителям. Какая вероятность события, состоящего в том, что все бракованные изделия достанутся одному потребителю? Решение. Пусть событие А – все бракованные изделия окажутся у одного потребителя. Общее число исходов выбора 40 изделий из 80 равно n = C. ...

В партии из 12 деталей 8 стандартных, остальные нестандартные. Наугад отобраны 4 детали. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 3 стандартных. Решение. Обозначим N = 12 общее количество деталей, n = 8 – количество стандартных, S = 4 (выборка), К = 3 – детали, которые по условию задачи должны быть в выборке и быть стандартными. Пусть событие А — в выборке ...

В электропоезд, состоящий из 10 вагонов, входят 4 товарища, каждый из которых независимо друг от друга может войти в любой вагон с 1- го по 10-й. Какова вероятность того, что все 4 пассажира войдут: а) в 3-й вагон, б) в один вагон? Решение. а) Пусть событие А — все пассажиры войдут в 3-й вагон. Каждый из них может войти в любой вагон с 1-го по 10-й, т.е. десятью способами. По ...

Из 30 студентов группы 5 студентов отличники. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – отличники? Решение. Пусть событием А является «3 выбранных наудачу студента». Общее число исходов выбора 3-х студентов из 30 равно n = С т.к. комбинации из 30 студентов по 3 представляют собой сочетания (выборка отличается составом студентов). Аналогично число исходов, ...

В условии задачи 1 найти вероятность того, что при четырёх извлечениях букв получится слово "роба"? Решение. Общее число исходов, как и в задаче 1, n = А, а m = 1. Таким образом, получим р(С) = = = 0,000331.

Буквы р ы а т в а б к о написаны на отдельных картинках, помещены в закрытую ёмкость, и в случайном порядке извлекаются из неё и приставляются одна буква к другой. Сначала составляется слово из 6 букв, затем из этой же вышеуказанной совокупности букв составляется другое слово из 9 букв. Какова вероятность того, что: а) в первом случае при 6 извлечениях получится слово ...

Коэффициенты р и q квадратного уравнения х2 + рх + q = 0 выбирают наудачу на отрезке . Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами? Решение. Обозначим событие: А – корни данного уравнения бу­дут действительными числами. Найдем вероятность события А, применив формулу р(А) = mesD / mesΩ. Пусть коэффициенты р и q квадратного уравнения ‒ ...

На отрезок L, имеющий длину 40 см, помещен меньший отрезок l, длиной 15 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения на отрезке L. Решение. Обозначим событие А — точка, наудачу ...

В круге радиуса R наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри правильного треугольника, вписанного в этот круг. Решение. Искомая вероятность равна отношению площади правильного треугольника к площади круга:

Задача о встрече. Два студента обедают в одном кафе, которое открыто с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи? Решение. Пусть x – время прихода первого студента в столовую, а y – время прихода второго студента . Можно установить взаимно ‒ однозначное соответствие между всеми парами чисел ...

В окружность вписан квадрат. В круг наудачу ставят точку. Какова вероятность того, что эта точка попадёт в квадрат? Решение. Отношение площадей квадрата и круга даёт искомую вероятность. Пусть событие А – попадание точки в квадрат и пусть его сторона равна . Тогда р(А) = Sкв / Sкруга = а2 / πR2 = 2R2 / πR2 = 2 / π.

Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8? Решение. Пусть событие А – сумма выпавших очков на обеих костях равна 8. Число исходов, благоприятствующих появлению события А, как видно из ниже приведенной таблицы, равно 5 (благоприятствующие исходы (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)), т.е. m = 5. Следовательно, р(А) = m / n = 5 / 36. ...

Монета подброшена 2 раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадают гербы? Решение. Этот пример содержит события, приведенные в типовом примере 8 подраздела 1.1. Обозначим событие А – выпадение герба оба раза. Общее число исходов и число благоприятствующих исходов легко подсчитывается по ниже приведенной таблице, где по горизонтали отмечено 2-е бросание, а по вертикали – ...

В урне 15 шаров: 5 белых и 10 чёрных. Какова вероятность извлечь из урны синий шар (событие А)? Решение. Так как синих шаров в урне нет, то для события А m = 0, a n = 15. Следовательно, р(А) = 0/15 = 0. В данном случае событие А – невозможное.

В ящике находятся 7 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 7. Извлекли один шар. Какова вероятность того, что извлечён шар с номером, не превышающим 7. Решение. Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 7, то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возможных случаев. Значит, m = n = 7 и р(А) = 7 / 7 = 1. В этом случае событие А ...

Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы. Решение. По условию задачи n = 90, так как двузначные цифры начинаются с числа 10, а m = 9. Следовательно, р(А) = 9 / 90 = 1 / 10.