Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?

Коэффициенты р и q квадратного уравнения х² + рх + q = 0 выбирают наудачу на отрезке [0; 2]. Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?

Решение. Обозначим событие: А – корни данного уравнения бу­дут действительными числами. Найдем вероятность события А, применив формулу р(А) = mesD / mesΩ. Пусть коэффициенты р и q квадратного уравнения ‒ наудачу взятые числа. Их воз­можные значения: 0<р<2; 0<q<2.

Представим р и q как прямоу­гольные декартовы координаты точек плоскости. Возможные значения р и q в системе координат Opq будут представлены точками, расположен­ными внутри и на границах представленного на рис. 1.14 квадрата, площадь которого S_G = 4.

Корни квадратного уравнения являются действительными числами в том случае, когда дискриминант D этого уравнения неотрицателен. Поэтому благоприятствующие событию А исходы испытания удовлетворяют условию: D = р² – 4q > 0, откуда следует, что q ≤ р²/ 4.

Построим границы области, которой принадлежат точки плоскости, удовлетворяющие условиям:

Граничные прямые р = 0, р = 2, q = 0, q = 2 являются сторонами квадрата, ограничивающего область возможных значений р и q. Граничная кривая q = р²/4 представляет собой параболу. Решениями состав­ленной системы неравенств являются координа-ты всех точек плоскости, расположенных на рис. 1.14 заштрихованной области, то есть между граничными линиями р = 0, q = 2, q = р²/4 и на самих этих линиях. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исхо­ды испытания, благоприятст-вующие событию А. Площадь заштрихованной области равна

Таким образом, вероятность события А равна р(А) = S_g / S_G = 1 / 6.