В партии из 12 деталей 8 стандартных, остальные нестандартные. Наугад отобраны 4 детали. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 3 стандартных.
Решение. Обозначим N = 12 общее количество деталей, n = 8 – количество стандартных, S = 4 (выборка), К = 3 – детали, которые по условию задачи должны быть в выборке и быть стандартными.
Пусть событие А — в выборке с четырьмя деталями окажется ровно 3 стандартных. Общее число возможных исходов равно числу исходов, которые можно отобрать любые 4 детали из 12 (безразлично, в какой последовательности). Число таких исходов n = С
. Исходы будут благоприятными, если в выборке S = 4 попадут три стандартных детали и кроме того, одна нестандартная деталь (чтобы дополнить выборку до заданных четырёх деталей). По правилу произведения получим m = C
∙ C
. В результате получим:
р(А) = 
Замечание 6. В общем случае справедлива формула р(А) = 
.
В этой формуле сумма нижних (верхних) индексов в произведении числа сочетаний в числителе всегда равна нижнему (верхнему) индексу в числе сочетаний в знаменателе.
Замечание 7. В некоторых специфических задачах число сомножителей в числителе превышает два. Это реализуется в задачах, в которых выборка формируется не из двух групп объектов, а из большего их числа. Если таких групп три, то в числителе формулы классической вероятности должно быть три сомножителя, если четыре, то четыре сомножителя и т.д. Кроме того, в некоторых задачах структура формирования числа m – благоприятствующих исходов получается более сложная. Иногда числитель формируется из суммы (или из сумм произведений) числа сочетаний.