Определение. Число k0 наступления события А в n независимых испытаниях, образующих схему Бернулли, называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Pn(k0), по крайней мере не меньше вероятности других событий Pn(k) при любых k.
Для определения наивероятнейшего числа k0 рассмотрим систему неравенств
C помощью формулы Бернулли и формулы числа сочетаний для первого неравенства из (2.5) получим
Но Подставляя эти выраже-ния в неравенство имеем
Преобразуя аналогично второе неравенство из системы (2.5), получим k0 ≤ np + p. Объединяя полученные неравенства, приходим к двойному неравенству:
np – q ≤ k0 ≤ np+ p . (2.6)
Отметим, что в силу того, что разность np + р – (np – q) = p + q = 1, то всегда существует целое число k0, удовлетворяющее неравенству (2.6). При этом, если число np + p – целое, то наивероятнейших чисел два k0 = np+ p и k0 = np – q, а если число np+ p не целое, то k0 равно целой части этого числа k0 = [np+ p].
Пример 2. По данным примера 1 найти k0 наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 4–х отобранных и вероятность появления k0 бракованных деталей.
Решение по формуле (2.6) получим 4 × 0,1 – 0,9 ≤ k0 ≤ 4 × 0,1 + 0,1 или – 0,5 ≤ k0 ≤ 0,5; k0 = 0 , а его вероятность P4(0) = 0,6561 (получено в примере 1).
Пример 3. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения четверки было равно 8?
Решение. В данной задаче вероятность выпадения любой грани с числом от 1 до 6 Число k0 по условию задачи равно 8. По формуле (2.6) получим
Таким образом, кость необходимо подбросить от 47 до 53 раз (включительно).