Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что: а) хотя бы один попадёт в мишень; б) только один из стрелков попадёт в мишень; в) все три стрелка попадут в мишень; г) ни один из стрелков не попадёт в мишень; д) ходя бы один из стрелков не попадёт в мишень?

Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что: а) хотя бы один попадёт в мишень; б) только один из стрелков попадёт в мишень; в) все три стрелка попадут в мишень; г) ни один из стрелков не попадёт в мишень; д) ходя бы один из стрелков не попадёт в мишень?

Решение. а) Пусть событие А – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень, а A_i (i = 1, 2, 3) – попадание в мишень, i-м стрелком. Тогда по формуле (1.12)

р(А) = 1 – р() ∙ р() ∙ р() = 1 – 0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,3 = 0,94.

б) Пусть событие В – только один из стрелков попадёт в мишень, тогда событие В выражается по формуле для суммы следующих трех событий:

В = А₁ ∙ ∙ + ∙ А₂ ∙ + ∙ ∙ А₃;

В силу несовместности и независимости событий А₁, А₂, А₃ по теоремам умножения и сложения получим:

р(В) = р(А₁) ∙ р() ∙ р() + р() ∙ р(А₂) ∙ р() + р() ∙ р() ∙ р(А₃);

р(В) = 0,9 ∙ 0,2 ∙ 0,3 + 0,1 ∙ 0,8 ∙ 0,3 + 0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,7 = 0,092.

в) Пусть событие С – все три стрелка попадут в мишень. Тогда по теореме умножения независимых событий (1.10) получим:

р(С) = р(А₁ ∙ А₂ ∙ А₃ ) = р(А₁) ∙ р(А₂) ∙ р(А₃) = 0,9 ∙ 0,8 ∙ 0,7 = 0,504.

г) Пусть событие D – ни один из стрелков не попадёт в мишень. Тогда также по теореме умножения будем иметь:

р(D) = р(∙ ∙ ) = р() ∙ р() ∙ р( ) = 0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,3 = 0,006.

д) Пусть событие Е – хотя бы один из стрелков не попадёт в мишень. Тогда события , , причислим к исходным событиям, а А₁, А₂, А₃ – к противоположным. По формуле (1.12) получим:

р(Е) = 1 – р(А₁ ∙ А₂ ∙ А₃) = 1 – р(А₁) ∙ р(А₂) ∙ р(А₃) = 1 – 0,9 ∙ 0,8 ∙ 0,7 = 0,496

или Е – как событие, противоположное событию С. Тогда

р(Е) = 1 – р(С) = 1 – 0,504 = 0,496.