Теория

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Суть расчетов заключается, как правило, в том, чтобы по известным значениям всех сопротивлений цепи и параметров источников (ЭДС или тока) определить токи во всех ветвях и напряжения на всех элементах (сопротивлениях ) цепи.

Для расчета электрических цепей постоянного тока могут применяться различные методы. Среди них основными являются :

– метод, основанный на составлении уравнений Кирхгофа;

– метод эквивалентных преобразований;

– метод контурных токов ;

– метод наложения;

– метод узловых потенциалов;

– метод эквивалентного источника;

Метод, основанный на составлении уравнений Кирхгофа, является универсальным и может применяться как для одноконтурных, так и для многоконтурных цепей. При этом количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству внутренних контуров схемы.

Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше количества узлов в схеме.

Например, для данной схемы

Рис.3.11.

составляется 2 уравнения по 1-му закону Кирхгофа и 3 уравнения по 2-му закону Кирхгофа.

Рассмотрим остальные методы расчета электрических цепей:

Метод эквивалентных преобразований применяется для упрощения схем и расчетов электрических цепей. Под эквивалентным преобразованием понимается такая замена одной схемы другой, при которой электрические величины схемы в целом не меняются ( напряжение, ток, потребляемая мощность остаются неизменными ).

Рассмотрим некоторые виды эквивалентных преобразований схем.

а). последовательное соединение элементов

Рис.3.12.

Общее сопротивление последовательно соединенных элементов равно сумме сопротивлений этих элементов.

RЭ =Σ R j (3.12)

RЭ=R1+R2+R3

б). параллельное соединение элементов.

Рис.3.13.

Рассмотрим два параллельно соединенных элемента R1 и R2 . Напряжение на этих элементах равны, т.к. они подключены к одним и тем же узлам а и б.

UR1= UR2= UАБ

Применяя закон Ома получим

UR1=I1R1 ; UR2=I2R2

Отсюда

I1R1=I2R2 или I1 / I2=R2 / R1

Применим 1-й закон Кирхгофа к узлу ( а )

I – I1 – I2 =0 или I=I1+I2

Выразим токи I1 и I2 через напряжения получим

I1= UR1 / R1 ; I2= UR2 / R2

I= UАБ / R1 + UАБ / R2 = UАБ(1 / R1 +1/R2)

В соответствии с законом Ома имеем I=UАБ / RЭ ; где RЭ – эквивалентное сопротивление

Учитывая это, можно записать

UАБ / RЭ= UАБ(1 / R1 +1 / R2),

откуда

1/RЭ=(1 / R1 +1/R2)

Введем обозначения: 1/RЭ=GЭ – эквивалентная проводимость

1/R1=G1 – проводимость 1-го элемента

1/R2=G2 – проводимость 2-го элемента.

Запишем уравнение (6) в виде

GЭ=G1+G2 (3.13)

Из этого выражения следует, что эквивалентная проводимость параллельно соединенных элементов равна сумме проводимостей этих элементов.

На основе (3.13) получим эквивалентное сопротивление

RЭ=R1R2 / (R1+R2) (3.14)

в). Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратное преобразование.

Соединение трех элементов цепи R1 , R2 , R3 , имеющее вид трех лучевой звезды с общей точкой ( узлом ), называется соединением “звезда”, а соединение этих же элементов, при котором они образуют стороны замкнутого треугольника – соединением “треугольник”.

Рис.3.14. Рис.3.15.

соединение – звезда ( ) соединение – треугольник ( )

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду проводится по следующим правилу и соотношениям:

Сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений двух примыкающих сторон треугольника, деленному на сумму всех трех сопротивлений треугольника.

(3.15)

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник производится по следующим правилу и соотношениям:

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений двух примыкающих лучей звезды плюс произведение этих двух сопротивлений, деленное на сопротивление третьего луча:

(3.16)

г). Преобразование источника тока в эквивалентный источник ЭДС Если в схеме имеется один или несколько источников тока, то часто для удобства расчетов следует заменить источники тока на источники ЭДС

Пусть источник тока имеет параметры IК и GВН .

ЕЭ

J

Рис.3.16. Рис.3.17.

Тогда параметры эквивалентного источника ЭДС можно определить из соотношений

EЭ=IК / GВН ; RВН .Э=1 / GВН (3.17)

При замене источника ЭДС эквивалентным источником тока необходимо использовать следующие соотношения

IК Э=E / RВН ; GВН, Э=1 / RВН (3.18)

Метод контурных токов.

Этот метод применяется, как правило, при расчетах многоконтурных схем, когда число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, равно шести и более.

Для расчета по методу контурных токов в схеме сложной цепи определяются и нумеруются внутренние контуры. В каждом из контуров произвольно выбирается направление контурного тока, т.е. тока, замыкающегося только в данном контуре.

Рис.3.18.

Затем для каждого контура составляется уравнение по 2-му закону Кирхгофа. При этом, если какое-либо сопротивление принадлежит одновременно двум смежным контурам, то напряжение на нем определяется как алгебраическая сумма напряжений, создаваемых каждым из двух контурных токов.

Если количество контуров n , то и уравнений будет n. Решая данные уравнения ( методом подстановки или определителей ), находят контурные токи. Затем, используя уравнения , записанные по 1-му закону Кирхгофа, находят токи в каждой из ветвей схемы.

Пример:

Запишем контурные уравнения для данной схемы.

Для 1-го контура:

I1R1+(I1+I2)R5+(II+IIII)R4=E1-E4

Для 2-го контура

(II+III)R5+ IIIR2+(III-IIII)R6 =E2

Для 3-го контура

(II+IIII)R4+(IIII-III)R6+IIIIR3=E3-E4

Производя преобразования запишем систему уравнений в виде

(R1+R5+R4)II+R5III+R4IIII=E1-E4

R5II+(R2+R5+R6) III-R6IIII=E2

R4II-R6III+(R3+R4+R6) IIII=E3-E4

Решая данную систему уравнений, определяем неизвестные I1 , I2 , I3. Токи в ветвях определяются, используя уравнения

I1= II ; I2= III ; I3= IIII ; I4= II+ IIII ; I5= II+ III ; I6= III– IIII

Метод наложений.

Этот метод основан на принципе наложения и применяется для схем с несколькими источниками электроэнергии. Согласно этому методу при расчете схемы, содержащей несколько источников э.д.с. , поочередно полагаются равными нулю все ЭДС , кроме одной. Производится расчет токов в схеме, создаваемой одной этой ЭДС. Расчет производится отдельно для каждой ЭДС, содержащейся в схеме. Действительные значения токов в отдельных ветвях схемы определяются как алгебраическая сумма токов, создаваемых независимым действием отдельных ЭДС.

Пример:

Рис.3.19.

Рис.3.20. Рис.3.21.

На рис. 3.19 исходная схема, а на рис.3.20 и рис.3.21 схемы замещается с одним источником в каждой.

Производится расчет токов I1, I2, I3 и I1, I2, I3 .

где

Определяются токи в ветвях исходной схемы по формулам;

I1=I1-I1 ; I2= I2-I2 ; I3=I3+I3

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до У – 1, где У – число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем:

1. Один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым потенциалом. Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как – ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов;

2. Для остальных У — 1 узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов.

При этом в левой части уравнений коэффициент при потенциале рассматриваемого узла положителен и равен сумме проводимостей сходящихся к нему ветвей.

Коэффициенты при потенциалах узлов, соединенных ветвями с рассмат- риваемым узлом, отрицательны и равны проводимостям соответствующих ветвей. Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму токов ветвей с источниками токов и токов короткого замыкания ветвей с источниками ЭДС, сходящихся к рассматриваемому узлу, причем слагаемые берутся со знаком плюс (минус), если ток источника тока и ЭДС направлены к рассматриваемому узлу (от узла).

3. Решением составленной системы уравнений определяем потенциалы У-1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщен- ному закону Ома .

Рассмотрим применение метода на примере расчета цепи по рис. 3.22.

Рис. 3.22

Для решения методом узловых потенциалов принимаем .

Система узловых уравнений: число уравнений N = Ny – NB -1,

где: Ny = 4 – число узлов,

NB = 1 – число вырожденных ветвей (ветви с 1-м источником ЭДС),

т.е. для данной цепи: N = 4-1-1=2.

Составляем уравнения по первому закону Кирхгоф для (2) и (3) узлов;

I2 – I4 – I5 – J5=0; I4 + I6 –J3 =0;

Представим токи ветвей по закону Ома через потенциалы узлов:

I2 = (φ2 − φ1) / R2 ; I4 = (φ2 +E4 − φ3) / R4

I5 = (φ2 − φ4) / R5 ; I6 = (φ3 – E6 − φ4) / R6;

где,

Подставив эти выражения в уравнения токов узлов, получим систему;

где ,

Решая систему уравнений численным методом подстановки или определи- телей находим значения потенциалов узлов, а по ним значения напряжений и токов в ветвях.

Метод Эквивалентного источника (активного двухполюсника)

Двухполюсником называется цепь, которая соединяется с внешней частью через два вывода – полюса. Различают активные и пассивные двухполюсники.

Активный двухполюсник содержит источники электрической энергии, а пас- сивный их не содержит. Условные обозначения двухполюсников прямоугольни- ком с буквой А для активного и П для пассивного (рис. 3.23.)

Для расчета цепей с двухполюсниками последние представляют схемами заме -щения. Схема замещения линейного двухполюсника определяется его вольт-амперной или внешней характеристикой V (I ). Вольт-амперная характеристика пассивного двухполюсника – пря мая. Поэтому его схема замещения представ- ляется резистивным элементом с сопротивлением:

rвх = U/I (3.19)

где: U – напряжение между выводами, I-ток и rвх – входное сопротивление.

Вольт-амперную характеристику активного двухполюсника (рис. 3.23, б) можно построить по двум точкам, соответствующим режимам холостого хода, т. е. при гн = °°, U = Uх, I = 0, и короткого замыкания, т. е. при гн =0, U = 0, I =Iк. Эта характеристика и ее уравнение имеет вид:

U = Uх – гэк I = 0 (3.20)

гэк = Uх / Iк (3.21)

где: гэк – эквивалентное или выходное сопротивление двухполюсника, совпа-

дают с одноименными характеристикой и уравнением источника электроэнер- гии, представляемого схемами замещения на рис. 3.23.

Рис. 3.23.

Итак, активный двухполюсник представляется эквивалентным источником с ЭДС – Еэк = Uх и внутренним сопротивлением – гэк = гвых (рис. 3.23, а) Пример активного двухполюсника.- гальванический элемент. При изменении тока в пределах 0<I<Iк активный двухполюсник отдает энергию во внешнюю цепь. При токе 1<0 получает энергию из внешней цепи. Это возможно, если к выводам а — Ь двухполюсника присоединен участок внешней цепи, содержащий необхо- димые источники энергии. При напряжении U<0 резисторы активного двухпо- люсника потребляют энергию источников из внешней цепи и самого активного двухполюсника.

Если приемник с сопротивлением нагрузки гн подключен к активному двух- полюснику, то его ток определяется по методу эквивалентного источника:

I = Еэк / (гн + гэк ) = Uх / (гн + гвых) (3.21)

В качестве примера рассмотрим расчет тока I в цепи на рис 3.24, а методом эквивалентного источника. Для расчета напряжения холостого хода Uх между выводами а и Ъ активного двухполюсника разомкнем ветвь с резистивным элементом гн (рис. 3.24, б).

Рис. 3.24.

Применяя метод наложения и учитывая симметрию схемы, находим:

Uх =J г / 2 + Е / 2

Заменив источники электрической энергии (в этом примере источники ЭДС и тока) активного двухполюсника резистивными элементами с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлениям соответствующих источников (в этом примере нулевым для источника ЭДС и бесконечно большим для источника тока сопротивлениями), получим выходное сопротивление (сопротивление измеренное на выводах а и б) гвых = г/2 (рис.3.24, в). По (3.21) искомый ток:

I = (J г / 2 + Е / 2) / (гн + r / 2) .

Определение условий передачи приемнику максимальной энергии

В устройствах связи, в электронике, автоматике и т. д. часто желательно передать от источника к приемнику (исполнительному механизму) наибольшую энергию, причем КПД передачи имеет второстепенное значение в силу малости энергии. Рассмотрим общий случай питания приемника от активного двухполюсника, на рис. 3.25 последний представлен эквива- лентным источником с ЭДС Еэк и внутренним сопротивлением г эк.

Рис. 3.25

Определим мощности Рн ,РЕ и КПД передачи энергии:

Рн = Uн I = (Еэк – гэк I) I ; РЕ = Еэк I = (гн – гэк I) I2

η= Рн / РЕ 100% = (1 – гэк I / Еэк) 100%

При двух предельных значениях сопротивления гн = 0 и гн = °° мощность приемника равна нулю, так как в первом случае равно нулю напряжение между выводами приемника, а во втором случае – ток в цепи. Следовательно, некоторому определенному значению гн соответствует наибольшее возможное (при данных еэк и гэк) значение мощности приемника. Чтобы определить это значение сопротивления, приравняем нулю первую производную от мощности рн по гн и получим:

эк – гн)22 гн гэк -2 гн 2 = 0

откуда следует, что при условии

гн = гэк (3.21)

мощность приемника будет максимальна:

Рн max = гн2эк / 2 гн ) 2 = Е2эк / 4 гн I (3.22)

Равенство (1.38) называется условием максимальной мощности приемника, т.е. передачи максимальной энергии.

На рис. 3.26 приведены зависимости Рн ,РЕ, Uн и η от тока I.

Рис. 3.26

Лекция 5

ТЕМА 4: ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО

ТОКА

Переменным называется периодически изменяющийся по направлению и амплитуде электрический ток. При этом, если переменный ток изменяется по синусоидальному закону – он называется синусоидальным, а если нет – несинусоидальым. Электрическая цепь с таким током называется цепью переменного (синусоидального или несинусоидального) тока.

Электротехнические устройства переменного тока находят широкое приме- нение в различных областях народного хозяйства, при генерировании, передаче и трансформировании электрической энергии, в электроприводе, бытовой тех- нике, промышленной электронике, радиотехнике и т. д.

Преимущественное распространение электротехнических устройств пере- менного синусоидального тока обусловлено рядом причин.

Современная энергетика основана на передаче энергии на дальние расстояния при помощи электрического тока. Обязательным условием такой передачи является возможность простого и с малыми потерями энергии преобразова- ния тока. Такое преобразование осуществимо лишь в электротехнических устройствах переменного тока — трансформаторах. Вследствие громадных преимуществ трансформирования в современной электроэнергетике приме- няется прежде всего синусоидальный ток.

Большим стимулом для разработки и развития электротехнических уст- ройств синусоидального тока является возможность получения источников электрической энергии большой мощности. У современных турбогенераторов тепловых электростанций мощность равна100-1500 МВт на один агрегат, большие мощности имеют и генераторы гидростанций.

К наиболее простым и дешевым электрическим двигателям относятся асин- хронные двигатели переменного синусоидального тока, в которых отсутствуют движущиеся электрические контакты. Для электроэнергетических установок (в частности, для всех электрических станций) в России и в большинстве стран мира принята стандартная частота 50 Гц (в США – 60 Гц). Причина такого выбора простые: понижение частоты неприемлемо, так как уже при частоте тока 40 Гц лампы накаливания заметно для глаза мигают; повышение часто- ты нежелательно, так как пропорционально частоте растет ЭДС само индукции, отрицательно влияющая на передачу энергии по проводам” и работу многих электротехнических устройств. Эти соображения, однако, не ограничивают при- менение переменного тока других частот для решения различных технических и научных задач. Например, частота переменного синусоидального тока элек- три ческих печей для выплавки тугоплавких металлов составляет до 500Гц.

В радиоэлектроннике применяются высокочастотные (мегогерцовые) устрой- ства, так на таких частотах повышается излучение электромагнитных волн.

В зависимости от числа фаз электрические цепи переменного с тока под- разделяются на однофазные и трехфазные.

Adblock
detector