Учитывая специфику представления величин синусоидального тока векторами и комплексными числами соответственно применяются методы: векторных диаграмм и символический).
Метод векторных диаграмм
Данный метод заключается в построении векторных диаграмм и измерении по ним значений искомых величин. Достоинствами этого метода является простота и наглядность, а недостатками трудоемкость, относительно низкая точность. Из-за простоты и наглядности метода он часто применяется в учебных целях, как это видно из ранее рассмотренных векторных диаграмм для последовательного и параллельного соединения элементов r, L, С.
Пример применения метода векторных диаграмм для цепи со смешанным соединением элементов r,L,C:
Рис. 4.22.
Дано: U,r1, r2, r3, L1, L2, C, ω. Определить: I, I1, I2, ϕ.
Для построения векторной диаграммы необходимо вначале определить общий ток I. I=U/Z; где Z-полное сопротивление цепи. Оно состоит из сопротивления Z3 элементов L3 и г3 и сопротивления параллельных ветвей Zaб.
Для определения Zab целесообразно определить активную и реактивную проводимости параллельных ветвей. Для этого определим эквивалентные проводимости последовательных элементов в ветвях . Представим ветвь г1 L1` эквивалентным параллельным соединением двух проводимостей g1 и b1.
Схема 1 . Схема 2.
. Построим векторные диаграммы и соответственные им треугольники сопротивлений для обеих схем, а) для первой схемы б) для второй схем
а).
б).
Так как треугольники сопротивлений и проводимостей подобны (один и тот же угол ϕ1 ), то имеем:
отсюда и
Учитывая, что y1=1/Z1 и Z1=1/y1 получим
и
Аналогично, отсюда 
отсюда и
Теперь определим эквивалентную проводимость разветвления (участка а)
где 
На основании проводимости определяем эквивалентные сопротивления участка аб
где
Теперь можно определить общий ток цепи I
где
Z1 – общее сопротивление цепи.
Чтобы найти токи в параллельных ветвях I1 и I2 найдем сначала UAB
где
После этого определим токи I1 и I2
Напряжение на неразветвленном участке цепи
Построение векторной диаграммы производится следующим образом.
В качестве исходного вектора выберем вектор напряжения UAB По отноше- 
нию к нему вектор тока I1 отстает на угол ϕ1.Эгот угол легко построить. Для этого вдоль UAB проведем в масштабе отрезок, равный г1 и перпендикулярно ему – отрезок, равный XL1 .Получим прямоугольный треугольник, у которого угол между катетом г1 и гипотенузой Z1 равен ϕ1.
Для определения угла ϕ2 между вектором напряжения UAB тока I1 строим треугольник сопротивлений со стороной г2, расположенной вдоль UAB и стороной XL2, расположенной перпендикулярно к UAB. Из конца вектора I1 под углом ϕ2 проведем вектор I2. Сумма векторов I1+I2 даст вектор тока I.
Для построения вектора напряжения U необходимо вначале построить вектор напряжения U3. Для этого из конца вектора UAB проводим вектор Ur3, параллельный вектору тока I. Перпендикулярно вектору Ur3 проводим вектор UL3. Соединив концы векторов UAB и UL3 получим вектор U3 ( U=Ur3+UL3 )
Т.к. U=UAB+ U3 то для получения вектора U необходимо соединить начало вектора UAB с концом вектора U3. Угол ϕ определяется, как угол между векторами I и U.
Рис. 4.23
Символический метод.
Символический метод расчета электрических цепей переменного тока осно- ван на представлении величин токов, напряжений, сопротивлений, мощностей в виде комплексных чисел. При этом могут применяться ранее рассмотренные методы: составления уравнений по законам Ома и Кирхгофа, эквивалентных преобразований, контурных токов, метод наложения, узловых потенциалов, эквивалентного источника. Достоинствами символического метода является высокая точность, возможность применения разных численных методов и расчета на компьютере, а недостатками – не наглядность, сложность.
Особенностью расчета цепей с использованием символического метода является то, что при сложении или вычитании комплексных величин их удобнее представлять в алгебраической форме, а при умножении или делении – в показательной.
Для определения активной и реактивной составляющих тока, напряжения, мощности, сопротивления величину удобно представлять в алгебраической форме, а для определения начальной фазы и модуля (действующего значения)- в показательной форме.
Так , если ток изменяется по закону i(t)= Im*sin(ωt+ϕi), то в комплексной форме он будет иметь вид:
для напряжения
Закон Ома в комплексной ( символической форме)
Пример применения символического метода для цепи со смешанным соединением элементов r,L,C:
Рис.4.24
1. Используя законы Ома и Кирхгофа составим систему уравнений, которая
в дифференциальной и символической формах имеет вид:
2. Определим комплексы действующих значений токов методом контурных токов (выбранные положительные направления контурных токов представлены на схеме ).
Решая систему уравнений методом подстановки или определителей находим искомые значения токов i 11, i 22.
Данное решение удобно получить, воспользовавшись машинной программой решения системы алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами.
Токи ветвей: 
3. Для построения топографической диаграммы за точку отсчета потенциала принимаем узел 5.
Целесообразно идти по каждой из ветвей схемы от точки 5 к точке 1 “навстречу” току. Например при обходе по правой ветви находим потенциалы:
Различие между полученными значениями 
несущественно. По полученным результатам строим топографическую диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов. 
+1 
Рис. 4.25
4. Определим показание ваттметра. Для этого нужно рассчитать 
:.
ъ
5. Составим баланс мощности:
Значит, Рпр = Рист, Qпр = Qист и Sпр = Sист (с погрешностью, определяемой погрешностью расчета).
ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПИ
Одним из наиболее распространенных алгоритмов частотного анализа линейных цепей является:
);В результате получается дискретный ряд значений реакции цепи, например 
, т. е. получается частотная характеристика 
. Так как 
вх(jω) = 1, то отдельные значения этой характеристики численно равны 
вых(jω), т.е. 
, при этом 
. (4.7)
Модули этих комплексных значений представляют амплитудно-частотную характеристику А(ω), а аргумент – фазочастотную характеристику ψ(ω). При этом в качестве независимой переменной можно использовать частоту f, циклическую частоту ω, или их относительные значения, выраженные в декадах.
Например, если отсчет частоты начать с 1 Гц, то соответствующая ось частот будет выглядеть (для fопор=1 Гц) таким образом:
1 10 100 1000 10000 100000 1000000 f (Гц)
0 1 2 3 4 5 6 
(дек)
В технической литературе часто fопор опускают и пишут 
.
Значения функций амплитудно-частотной характеристики могут быть безразмерны 
, 
, или иметь размерность соответствующего параметра, например 
вх(ω) в омах, или 
вх(ω) в сименсах и т.д.
Безразмерные относительные величины иначе могут быть выражены через логарифмические единицы, например децибелы: 
, 
,
.
В табл. 1 представлены примеры соответствия этих единиц:
Таблица 1
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
60
40
20
0
-20
-40
-60
Например, проведем частотный анализ для электрической цепи, схема которой изображена на рис.4.26.
Узловые уравнения имеют вид
В приведенной системе всего 2 узловых уравнения для узлов 1 и 2. Этого достаточно, так как 
и при 
система имеет вид:
Рис. 4.26
Пусть в первой, второй и четвертой ветвях включены резисторы R1, R2, R4, а в третьей и пятой – емкостные элементы С3 и С5, тогда соответствующие проводимости будут равны:
т. е. видно, что параметры цепи частотно-зависимы.
Если обозначить
то уравнение (1.2) преобразуется к виду
Теперь, задаваясь дискретными значениями частоты f, можно, например, определить ряд комплексных значений 
, т. е. получить 
3(jω). Тогда отношение комплексов выходного и входного напряжений (комплексная передаточная функция) будет при 
вх (jω) = 1 численно равна
Здесь 
вых(ω) или 
вых(f) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); ψ(ω) или ψ(f) – фазочастотная характеристика(ФЧХ).
Иногда в инженерной практике требуется определить частотную зависимость входного сопротивления или проводимости. Из схемы рис.4.24 нетрудно увидеть, что 
Тогда входное сопротивление определится так:
.
Это выражение при 
примет вид
Если 
находить дискретно, по точечно для разных значений частоты, получится ряд значений:
Это – частотная характеристика входного сопротивления.
Примеры характеристик полученных в результате частотного анализа приве- дены на рис. 4.27- 4.28.
Рис. 4.27
Рис. 4.28