Теория

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

Учитывая специфику представления величин синусоидального тока векторами и комплексными числами соответственно применяются методы: векторных диаграмм и символический).

Метод векторных диаграмм

Данный метод заключается в построении векторных диаграмм и измерении по ним значений искомых величин. Достоинствами этого метода является простота и наглядность, а недостатками трудоемкость, относительно низкая точность. Из-за простоты и наглядности метода он часто применяется в учебных целях, как это видно из ранее рассмотренных векторных диаграмм для последовательного и параллельного соединения элементов r, L, С.

Пример применения метода векторных диаграмм для цепи со смешанным соединением элементов r,L,C:

Рис. 4.22.

Дано: U,r1, r2, r3, L1, L2, C, ω. Определить: I, I1, I2, ϕ.

Для построения векторной диаграммы необходимо вначале определить общий ток I. I=U/Z; где Z-полное сопротивление цепи. Оно состоит из сопротивления Z3 элементов L3 и г3 и сопротивления параллельных ветвей Zaб.

Для определения Zab целесообразно определить активную и реактивную проводимости параллельных ветвей. Для этого определим эквивалентные проводимости последовательных элементов в ветвях . Представим ветвь г1 L1` эквивалентным параллельным соединением двух проводимостей g1 и b1.

Схема 1 . Схема 2.

. Построим векторные диаграммы и соответственные им треугольники сопротивлений для обеих схем, а) для первой схемы б) для второй схем

а).

б).

Так как треугольники сопротивлений и проводимостей подобны (один и тот же угол ϕ1 ), то имеем:

отсюда и

Учитывая, что y1=1/Z1 и Z1=1/y1 получим

и

Аналогично, отсюда

отсюда и

Теперь определим эквивалентную проводимость разветвления (участка а)

где

На основании проводимости определяем эквивалентные сопротивления участка аб

где

Теперь можно определить общий ток цепи I

где

Z1 – общее сопротивление цепи.

Чтобы найти токи в параллельных ветвях I1 и I2 найдем сначала UAB

где

После этого определим токи I1 и I2

Напряжение на неразветвленном участке цепи

Построение векторной диаграммы производится следующим образом.

В качестве исходного вектора выберем вектор напряжения UAB По отноше-

нию к нему вектор тока I1 отстает на угол ϕ1.Эгот угол легко построить. Для этого вдоль UAB проведем в масштабе отрезок, равный г1 и перпендикулярно ему – отрезок, равный XL1 .Получим прямоугольный треугольник, у которого угол между катетом г1 и гипотенузой Z1 равен ϕ1.

Для определения угла ϕ2 между вектором напряжения UAB тока I1 строим треугольник сопротивлений со стороной г2, расположенной вдоль UAB и стороной XL2, расположенной перпендикулярно к UAB. Из конца вектора I1 под углом ϕ2 проведем вектор I2. Сумма векторов I1+I2 даст вектор тока I.

Для построения вектора напряжения U необходимо вначале построить вектор напряжения U3. Для этого из конца вектора UAB проводим вектор Ur3, параллельный вектору тока I. Перпендикулярно вектору Ur3 проводим вектор UL3. Соединив концы векторов UAB и UL3 получим вектор U3 ( U=Ur3+UL3 )

Т.к. U=UAB+ U3 то для получения вектора U необходимо соединить начало вектора UAB с концом вектора U3. Угол ϕ определяется, как угол между векторами I и U.

Рис. 4.23

Символический метод.

Символический метод расчета электрических цепей переменного тока осно- ван на представлении величин токов, напряжений, сопротивлений, мощностей в виде комплексных чисел. При этом могут применяться ранее рассмотренные методы: составления уравнений по законам Ома и Кирхгофа, эквивалентных преобразований, контурных токов, метод наложения, узловых потенциалов, эквивалентного источника. Достоинствами символического метода является высокая точность, возможность применения разных численных методов и расчета на компьютере, а недостатками – не наглядность, сложность.

Особенностью расчета цепей с использованием символического метода является то, что при сложении или вычитании комплексных величин их удобнее представлять в алгебраической форме, а при умножении или делении – в показательной.

Для определения активной и реактивной составляющих тока, напряжения, мощности, сопротивления величину удобно представлять в алгебраической форме, а для определения начальной фазы и модуля (действующего значения)- в показательной форме.

Так , если ток изменяется по закону i(t)= Im*sin(ωt+ϕi), то в комплексной форме он будет иметь вид:

для напряжения

Закон Ома в комплексной ( символической форме)

Пример применения символического метода для цепи со смешанным соединением элементов r,L,C:

Рис.4.24

1. Используя законы Ома и Кирхгофа составим систему уравнений, которая

в дифференциальной и символической формах имеет вид:

2. Определим комплексы действующих значений токов методом контурных токов (выбранные положительные направления контурных токов представлены на схеме ).

Решая систему уравнений методом подстановки или определителей находим искомые значения токов i 11, i 22.

Данное решение удобно получить, воспользовавшись машинной программой решения системы алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами.

Токи ветвей:

3. Для построения топографической диаграммы за точку отсчета потенциала принимаем узел 5.

Целесообразно идти по каждой из ветвей схемы от точки 5 к точке 1 “навстречу” току. Например при обходе по правой ветви находим потенциалы:

Различие между полученными значениями несущественно. По полученным результатам строим топографическую диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов.

+1

Рис. 4.25

4. Определим показание ваттметра. Для этого нужно рассчитать :.

ъ

5. Составим баланс мощности:

Значит, Рпр = Рист, Qпр = Qист и Sпр = Sист (с погрешностью, определяемой погрешностью расчета).

ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПИ

Одним из наиболее распространенных алгоритмов частотного анализа линейных цепей является:

  • составление узловых или контурных уравнений электрической цепи для установившегося режима;
  • задание значения частотных воздействий;
  • определение реакции цепи на воздействие с единичным действующим значением и нулевой начальной фазой ();
  • изменение значения частоты воздействия;
  • определение реакций цепи на изменяемые по частоте воздействия.

    В результате получается дискретный ряд значений реакции цепи, например , т. е. получается частотная характеристика . Так как вх(jω) = 1, то отдельные значения этой характеристики численно равны вых(jω), т.е. , при этом

    . (4.7)

    Модули этих комплексных значений представляют амплитудно-частотную характеристику А(ω), а аргумент – фазочастотную характеристику ψ(ω). При этом в качестве независимой переменной можно использовать частоту f, циклическую частоту ω, или их относительные значения, выраженные в декадах.

    Например, если отсчет частоты начать с 1 Гц, то соответствующая ось частот будет выглядеть (для fопор=1 Гц) таким образом:

    1 10 100 1000 10000 100000 1000000 f (Гц)

    0 1 2 3 4 5 6 (дек)

    В технической литературе часто fопор опускают и пишут .

    Значения функций амплитудно-частотной характеристики могут быть безразмерны , , или иметь размерность соответствующего параметра, например вх(ω) в омах, или вх(ω) в сименсах и т.д.

    Безразмерные относительные величины иначе могут быть выражены через логарифмические единицы, например децибелы: , ,.

    В табл. 1 представлены примеры соответствия этих единиц:

    Таблица 1

    1000

    100

    10

    1

    0,1

    0,01

    0,001

    60

    40

    20

    0

    -20

    -40

    -60

    Например, проведем частотный анализ для электрической цепи, схема которой изображена на рис.4.26.

    Узловые уравнения имеют вид

    В приведенной системе всего 2 узловых уравнения для узлов 1 и 2. Этого достаточно, так как и при система имеет вид:

    Рис. 4.26

    Пусть в первой, второй и четвертой ветвях включены резисторы R1, R2, R4, а в третьей и пятой – емкостные элементы С3 и С5, тогда соответствующие проводимости будут равны:

    т. е. видно, что параметры цепи частотно-зависимы.

    Если обозначить

    то уравнение (1.2) преобразуется к виду

    Теперь, задаваясь дискретными значениями частоты f, можно, например, определить ряд комплексных значений , т. е. получить 3(jω). Тогда отношение комплексов выходного и входного напряжений (комплексная передаточная функция) будет при вх (jω) = 1 численно равна

    Здесь вых(ω) или вых(f) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); ψ(ω) или ψ(f) – фазочастотная характеристика(ФЧХ).

    Иногда в инженерной практике требуется определить частотную зависимость входного сопротивления или проводимости. Из схемы рис.4.24 нетрудно увидеть, что

    Тогда входное сопротивление определится так:

    .

    Это выражение при примет вид

    Если находить дискретно, по точечно для разных значений частоты, получится ряд значений:

    Это – частотная характеристика входного сопротивления.

    Примеры характеристик полученных в результате частотного анализа приве- дены на рис. 4.27- 4.28.

    Рис. 4.27

    Рис. 4.28

Adblock
detector