Теория

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю на остальной части числовой оси Ox, т.е.

clip_image002

Из условия нормировки функции f(x) найдем константу C:

clip_image004, таким образом clip_image006

График f(x) для равномерного распределения случайной величины Х изображен на рисунке 3.19:

clip_image007clip_image008clip_image011clip_image012

Найдем функцию распределения F(x): clip_image014 Имеем

clip_image016. При x £ a F(x) = 0 и clip_image018

Таким образом,

clip_image020

clip_image021График F(x) изображен на рисунке 3.20:

 
 

Рис. 3.20

Определим М(Х) и D(Х) случайной величины clip_image023. По формуле clip_image025 (формула (3.9)) получим:

clip_image027.

Таким образом, математическое ожидание случайной величины Х, удовлетворяющей равномерному распределению, равно абсциссе середины отрезка [a,b], и оно совпадает с медианой, т.е. clip_image029

clip_image031

следовательно, clip_image033

Замечание. Случайными величинами, имеющими равномерное распределение, являются следующие:

Х – время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом;

Y – ошибка округления числа до целого, которая равномерно распределена на отрезке [– 0,5; 0,5].

Z – случайные величины, все значения которых принадлежат некоторому интервалу и все эти значения имеют одинаковую вероятность.

Пример. Пусть поезда метро идут с интервалом 2 минуты, и пусть пассажир прибыл на станцию метро в определенный момент времени t. Пусть событие А – время ожидания поезда. Найти clip_image035

Решение. Событие А – есть случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [a, b] = [0, 2]. Таким образом, clip_image037 мин – среднее время ожидания пассажиром поезда.

clip_image039, т.е. разброс, от времени Т = 1 минута clip_image04120 секунд;

clip_image043

Пермь Питер Пятигорск