АИКИ

Применение алгебры логики к синтезу и анализу цифровых (релейных) схем

Алгебра логики, созданная в XIX в. известным английским математиком Джорджем Булем, является алгеброй двух чисел. Каждый отдельный аргумент в алгебре логики может принимать только два значения: «истинно», условно обозначаемое 1, и «ложно», условно обозначаемое 0. Алгебра логики занимается исчислением высказываний или предложений, которые могут рассматриваться как истинные или ложные.

Алгебра логики позволяет записать входные и выходные сигналы элементов цифровых схем в виде буквенных обозначений, а функциональные зависимости между входными и выходными сигналами — в виде алгебраических формул, в которых связи между переменными выражаются специальными логическими символами. Полученные алгебраические выражения будут характеризовать функцию, выполняемую данным элементом.

Так как функции, выполняемые элементами цифрового устройства, можно выразить с помощью логических формул, то такие функции называются логическими, а элементы, реализующие эти логические функции, — логическими элементами.

Рассмотрим основные логические элементы, которые служат основой для построения любых цифровых схем.

Текстовое полеИзображениеИзображениеВыход логического элемента ИЛИ имеет ВЫСОКИЙ уровень, если ВЫСОКИЙ уровень присутствует хотя бы на одном из его входов. Этот элемент реализует дизъюнкцию – логическую операцию ИЛИ. На рис. 3.1, показан логический элемент ИЛИ на 2 входа (слева – изображение в иностранной литературе, справа – в отечественной, а также иллюстрация функции ИЛИ с помощью контактов). В общем случае число входов не ограничено, однако в стандартном корпусе микросхемы обычно размещаются четыре 2-входовых элемента, три 3-входовых или два 4-входовых. Для обозначения операции ИЛИ в булевой алгебре и с пользуются символы Изображение + .Функция «А ИЛИ В» записывается как А+В (Х1 +Х2). Таблица состояний для элемента ИЛИ выглядит следующим образом: 

Изображение

ИзображениеИзображениеТекстовое полеВыход логического элемента И имеет ВЫСОКИЙ уровень только в том случае, если ВЫСОКИЙ уровень присутствует на всех его входах. Этот элемент реализует конъюнкцию – логическую операцию И. Символическое изображение элемента И приведено на рис. 3.2 (слева – изображение в иностранной лите- ратуре, справа – в отечественной, а также иллюстрация функции И с помощью контактов). Выпускаемые промышенностью логические элементы И, так же как и элементы ИЛИ, могут иметь 2, 3, 4, а иногда и большее число входов. Для обозначения операции И в булевой алгебре используются символы Изображение. Функция «А И В» записывается как АИзображениеВИзображение, или просто АВ. Таблица состояний для элемента И выглядит следующим образом:

Изображение

Часто бывает нужно получить дополнение (инверсию) логического сигнала. Эту функцию выполняет инвертор — логический элемент, имеющий только один вход. Символическое изображение инвертора (элемента НЕ) приведено на рис. 3.3 (слева – изображение в иностранной литературе, справа – в отечественной).

ИзображениеДля обозначения операций НЕ в булевой алгебре используется черта над символом, а иногда апостроф; «НЕ А» записывается как Изображение или как А’.

ИзображениеТаблица состояний для элемента НЕ выглядит следующим образом:

Текстовое поле

Изображение

Логические элементы могут совмещать инвертирование с выполнением функций И и ИЛИ. Как вскоре будет показано, такие элементы имеют более широкое распространение, чем просто И и ИЛИ (рис. 3.4).

Текстовое полеИзображение

Таблицы состояний элементов И-НЕ и ИЛИ-НЕ выглядят следующим образом:

Изображение Изображение

Существенный интерес представляет логическая функция «Исключающее ИЛИ», хотя она и не относится к числу основных (рис. 3.5). На выходе элемента «Исключающего ИЛИ» ВЫСОКИЙ уровень действует на выходе тогда, когда входы  имеют различное состояние. Этот элемент может иметь только два входа. Операция «Исключающее ИЛИ» идентична сложению 2-х бит по модулю 2. Таблица состояний:

ИзображениеИзображение

Текстовое полеЭтот элемент также может совмещать инвертирование с выполнением основной функции «Исключающее ИЛИ-НЕ», и тогда ВЫСОКИЙ уровень действует на выходе тогда, когда входы имеют одинаковое состояние.

Пермь Питер Пятигорск