Пример выполнения задания по ТОЭ

В схеме (рисунок 1) E₁ = 32 В; E₂ = 25 В; R₁ = 7 Ом; R₂ = 5 Ом; R₃= 8 Ом; R₄=6Ом; R₅= 13 Ом; R₆ = 11 Ом.

Рис.2.1- Схема линейной электрической цепи

1.1 Законы Кирхгофа

1. Выбираем произвольно направления токов во всех ветвях схемы (рис.2.1).

2. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Число их в общем случае на единицу меньше числа узлов (для рассматриваемой схемы с четырьмя узлами нужно со­ставить три таких уравнения). При этом с плюсом записываем токи, входящие в узел, с минусом – токи, выходящие из узла:

 I₆ -I₁-I₂ = 0 — для узла а;

 I₁ +I₃–I₅ = 0 — для узла b;

–I₃ + I₄–I₆ = 0 — для узла с.

3. Выбираем произвольно направление обхода каждого контура цепи (например, по часовой стрелке) и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Контуры, для кото­рых составляются уравнения, нужно выбрать так, чтобы каждый из них включал в себя хотя бы одну ветвь, не во­шедшую в другие контуры. Только при этом условии уравне­ния, составленные по второму закону Кирхгофа, будут незави­симыми друг от друга. Поэтому и контуры, выбранные с со­блюдением приведенного выше условия, принято называть независимыми. Таким образом, число уравнений, составлен­ных по второму закону Кирхгофа, должно быть равно числу независимых контуров:

I₁R₁+I₅R₅-I₂R₂ = E₁-E₂        для контура abda

– I₅R₅-I₃R₃-I₄R₄ = 0           для контура dbcd

I₂R₂+I₄R₄+I₆R₆ = E₂           для контура adсa

В этих уравнениях все э. д. с. и токи, совпадающие с направлением обхода, записываются со знаком плюс; э. д. с. и токи, направленные навстречу обходу, — со знаком минус. Как видно из данного примера, общее число уравнений, сос­тавленных по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов, т. е. числу ветвей.

Решив полученную систему шести уравнений с шестью неизвестными, определим искомые токи. Если какой-либо ток в результате расчета получился отрицательным, то это озна­чает, что его действительное направление противоположно направлению, выбранному в п. 1.

Рассмотренный метод расчета в подавляющем большин­стве случаев является достаточно громоздким и потому практически нецелесообразным. Задача значительно упро­щается при использовании метода контурных токов и метода узловых потенциалов, в основу которых также положены уравнения Кирхгофа.

 

1.2 Метод контурных токов

1. Вводим понятие фиктивных контурных токов: I₁₁, I₂₂, I₃₃ и выбираем произвольно направление каждого из них. На рисунке 1 все контурные токи направлены по часовой стрелке. Значения контурных токов должны быть равны по абсолютной величине значениям токов в несмежных ветвях, т. е.

I₁₁ = I₁ I₂₂= – I₃ I₃₃ = I₆

Тогда токи во всех ветвях схемы определятся из выраже­ний (1):

I₁= I₁₁; I₂ = I₆-I₁₁ = I₃₃-I₁₁; I₃ = – I₂₂;

I₄ = I₃+I₆ = I₃₃-I₂₂;  I₅ = I₁+I₃ = I₁₁-I₂₂; I₆ = I₃₃

аким образом, при использовании метода контурных то­ков уравнения, составленные по 1-му закону Кирхгофа, обра­щаются в тождества, т. е. этот закон удовлетворяется при любых значениях контурных токов. Значит, для решения за­дачи этим методом достаточно уравнений, составленных по 2-му закону Кирхгофа.

2. Составляем уравнения по 2-му закону Кирхгофа для контурных токов. Для этого подставим в первое из уравнений (2) значения токов в ветвях, приведенные в уравнениях (3):

I₁₁R₁ + (I₁₁ – I₂₂) R₅ – (I₃₃ – I₁₁) R₂ = E₁ – E₂.

Перегруппировав слагаемые в этом выражении и сделав соответствующие преобразования с остальными уравнениями системы (2), получим уравнения для метода контурных токов:

I₁₁ (R₁ + R₅ + R₂) – I₂₂R₅ – I₃₃R₂ = E₁ – E₂,

I₂₂ (R₃ + R₅ + R₄) – I₁₁R₅ – I₃₃R₄ = 0,

I₃₃ (R₂ + R₄ + R₆) – I₁₁R₂ – I₂₂R₄ = E₂.

Подставляя заданные числовые значения э. д. с. и сопро­тивлений, получим:

I₁₁ ·25 – I₂₂·13 – I₃₃·5 = 7,

-I₁₁·13 + I₂₂·27 – I₃₃·6 = 0;

-I₁₁·5 – I₂₂·6 + I₃₃·22 = 25

Совместное решение этих уравнений дает следующие значения контурных токов:

I₁₁ = 1,05 А; I₂₂ = 0,864 A; I₃₃ = 1,64 A.

Значения токов в ветвях определяем из выражений (3):

I₁ = I₁₁ = 1,05 А; I₂₂ = I₃₃ – I₁₁ = 0,56 A; I₃ = I₂₂ = – 0.864 A;

I₄ = I₃₃ – I₂₂ = 0,746 A; I₅ = I₁₁ – I₂₂ = 0,186 A; I₆ = I₃₃ = 1,61 A.

Знак минус перед током I₃ показывает, что действительное его направление противоположно выбранному. Метод контур­ных токов позволяет уменьшить число уравнений, необходи­мых для решения задачи, до числа независимых контуров.

1.3 Метод узловых потенциалов

При известных потенциалах отдельных узлов ток в каждой ветви можно определить по закону Ома:

(4)

Из этих соотношений видно, что токи в ветвях зависят от раз­ностей потенциалов узлов, к которым эти ветви подсоедине­ны. Это позволяет задать потенциалу одного из узлов любое числовое значение.

Порядок расчета рассматриваемой цепи методом узловых потенциалов следующий.

Полагаем потенциал какого-либо одного узла схемы (например, узла d) равным нулю: φ_d = 0.

Для всех остальных узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа (система уравнений (1)), выразив значения токов из формул (4). В этом случае уравнение для узла «а» примет вид:

(φ_c – φ_a)G₆ – (E₁+ φ_a – φ_b)G₁ – (E₂ + φ_a)G₂ = 0.

Сгруппировав отдельно слагаемые, содержащие э. д. с. и не содержащие их, и проделав такие же преобразования с остальными уравнениями системы (1), получим уравнения для метода узловых потенциалов:

Обратите внимание на смысл написанных уравнений. Сумма токов, оттекающих от данного узла под влиянием его потенциала, равна сумме токов, притекающих к этому узлу под влиянием потенциалов соседних узлов и под влиянием э. д. с. Поэтому э.д.c., направленные к узлу, для которого составляется уравнение, записываются со знаком плюс, а э. д. с., направленные от этого узла, — со знаком минус.

Определим численные значения проводимостей и под­ставим их в последнюю систему уравнений:

Совместное решение этих уравнений дает следующие зна­чения узловых потенциалов:

φ_а = — 22,1В; φ_в = 2,4В; φ_с = = — 4,5В.

Тогда по уравнениям (4) определяем токи в ветвях:

I₁ = 1,07 A; I₂ = 0,58 A; I₃ = – 0,86 A; I₄ = 0,751;

I₅ = 0,185 A; I₆ = 1,6 A.

Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число уравнений, необходимых для решения задачи, до числа узлов без единицы.

Сравним результаты расчетов обоими методами.

Таблица 2 – Результаты расчета токов в ветвях схемы

Токи, А	I1	I2	I3	I4	I5	I6
Метод контурных токов	1,05	0,56	-0,864	0,746	0,186	1,61
Метод узловых потенциалов	1,07	0,58	-0,854	0,751	0,185	1,60

Результаты совпадают с достаточной точ­ностью.

1.4 Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

1. Разрываем ветвь, ток в которой нужно определить, и подсчитываем напряжение между точками разрыва (напряжение холостого хода U_xx). Полученная схема изображена на рисунке 2.2.

Рис.2.2

Рис.2.3

По второму закону Кирхгофа для контура damm’bd, обхо­дя его по часовой стрелке, подсчитаем напряжение холостого хода.

U_xx – I₅΄R₅ – I₂^΄R₂ = E₁ – E₂, откуда

U_xx = E₁ – E₂ + I₅΄R₅ + I₂^΄R₂ = 32 – 25 + 0,269·13 + 1,21·5 = 16,55 B.

2. Замыкаем накоротко обе э.д.с., в место разрыва вво­дим э.д.с., равную Uхх (рис.2.3).

Определим входное сопро­тивление этой схемы (ее эквивалентное сопротивление отно­сительно зажимов ab, к которым подключена исследуемая ветвь). Для этой цели преобразуем один из треугольников сопротивлений, например, R₃ R₄ R₅ в эквивалентную звезду сопротивлений R_b R_c R_d (рис.2.4а). В этой схеме:

Рис.2.4а Рис.2.4б

В результате такого преобразования схема оказалась приведенной к последовательно-параллельной (рис.2.4б). Она окажется эквивалентной схеме, изображенной на рисунке 5, то

Рис.2.5

Тогда ток .

1.5 Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала вдоль замкнутого контура.

Отложим по оси абсцисс (рис.2.6) все сопротивления контура dnambcd (рис.1), двигаясь от точки d, потенциал которой принят равным нулю. Перемещаясь вдоль этого контура, подсчитаем потенциалы всех точек. Пройдя сопротивление R₂ и двигаясь навстречу току I₂ (от меньшего потенциала к большему), попадаем в точку n, потенциал которой равен:

Потенциал следующей точки а будет меньше φ_п на вели­чину э.д.с. E₂ :

φ_а = φ_n— Е₂ = 2,8 – 25 = – 22,2 В.

Так как между точками п и а никакого сопротивления нет, то их абсциссы будут одинаковы.

Потенциалы остальных точек определятся аналогично:

φ_m = φ_a – I₁R₁ = – 22,2 – 1,05·7 = – 29,55 В;

φ_B = φ_m + E₁ = – 29,55 +32 = 2,45 В;

φ_c = φ_B + I₃R₃ = – 2,45 + ( – 0,864) ·8 = – 4,462 В;

φ_d = φ_c + I₄R₄ = 4,462 + 0,746·6 ≈ 0

Значения потенциалов узлов с достаточной точностью сов­падают с найденными по методу узловых потенциалов.

Рис.2.6 – Потенциальная диаграмма

1.6. Баланс мощностей

∑EI = ∑I²R (5)

Мощность, генерируемая источниками:

∑EI = E₁I₁+E₂I₂ = 32·1,05+25·0,56= 33,6+14= 47,6 Вт.

При расчете мощности источников необходимо учитывать, что если направления э.д.с. и тока совпадают, то источник генерирует мощность (записываем ее со знаком «плюс»), если направления э.д.с. и тока противоположны, то источник работает в режиме потребления мощности (записываем мощность со знаком «минус»).

Мощность, потребляемая элементами схемы:

∑I²R =1,05²·7+0,56²·5+0,864²·8+0,746²·6+0,186²·13 +1,61²·11 = 7,72+1,57+5,96+3,35+0,45+28,5=46,55 Вт.

Расхождение в результатах вычислений не превосхо­дит 2,2%.