Теория

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласса

В тех случаях, когда в задаче требуется вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появляется не менее k1 раз и не более k2 раз (Pn(k1 kk2 )) при достаточно большом n, то необходимо использовать приближенную формулу

clip_image002 , (2.10)

где clip_image004 При этом предполагается, что вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы.

Для упрощения вычислений при использовании формулы (2.10) вводится специальная функция (нормированная функция Лапласа):

clip_image006 . (2.11)

Если выразить правую часть (2.10) через функцию Лапласа (2.11), то получим:

clip_image008

Тогда равенство (2.10) приводится к виду:

clip_image010 (2.12)

где clip_image004[1]

Именно формула (2.12), которая называется интегральной формулой Муавра-Лапласа, используется в практических вычислениях, и процесс вычисления существенно упрощается путем использования затабулирован-ных значений функции Лапласа (см. приложение 2). Выполняя вычисления, необходимо учитывать свойства функции Лапласа (рис. 2.6).

Свойства функции Ф(х):

1) clip_image013 т.е. Ф(х) — нечетная функция.

Действительно, clip_image015 Сделаем замену переменной t = —z. Тогда dt = — dz. Пределами интегрирования будут числа 0 и х. Получим

clip_image017

2) Функция Ф(х) монотонная возрастающая, причем при clip_image019 Практически можно считать, что уже при x > 4 Ф(x) ≈ 1/2.

Действительно, найдем предел функции Ф(х) при clip_image021

clip_image023

Далее осуществляя замену переменной clip_image025 находим

clip_image027

Здесь учтено, что интеграл Эйлера — Пуассона равен clip_image029, т.е. clip_image031

clip_image033Рис. 2.6

Пермь Питер Пятигорск