Теория

Основные положения

Рассмотренные выше теоремы сложения и умножения вероятностей применяются в технике при расчёте надёжности функциональных цепей, включающих в свой состав последовательные и параллельные участки соединения (формирования) элементов цепей (приборов). Простейшими моделями этих цепей являются электрические цепи, элементами которых являются независимо работающие приборы.

Рассмотрим сначала раздельно два участка электрической цепи, состоящей из 2-х элементов, соединённых последовательно и параллельно.

clip_image002

а б

Рис. 1.15

Предположим, что каждый прибор А1, А2 в последовательном соединении (рис. 1.15а) и приборы В1, В2 – в параллельном соединении (рис. 1.15б) работают независимо и каждый из них может либо пропускать ток (прибор испра-вен), либо не пропускать (прибор неисправен).

Пусть события А1, А2 и В1, В2 соответствуют обозначениям приборов и обозначают их исправность. Пусть также событие С – обозначает исправность последовательной цепи, а событие D – параллельной. Тогда С = А1А2, D = В1 + В2. Подчеркнем, что событие D равно сумме событий В1 и В2 , так как В1 + В2 в силу параллельности соединения элементов В1 и В2 означает исправную работу хотя бы одного из элементов. Для соответствующих вероятностей по теореме умножения независимых событий А1, А2 и по теореме сложения совместных событий В1, В2 получим:

р(С) = р(А1)∙р(А2), р(D) = р(В1)+р(В2) – р(В1В2) = р(В1) + р(В2) – р(В1) ∙ р(В2).

Последнюю формулу можно записать в эквивалентном виде:

р(D) = 1 – р(clip_image004) ∙ р(clip_image006).

Полученные соотношения для р(С) и р(D) обобщаются на произвольное число последовательно и параллельно соединённых элементов (рис.1.16).

clip_image008

Рис. 1.16

р(С) = р(А1) ∙ р(А2) … р(Аn),

р(D) = 1 – р(clip_image004[1]) ∙ р(clip_image006[1]) … р(clip_image012).

Реальные цепи содержат в своём составе совокуп-ности последовательных и параллельных участков.

Пермь Питер Пятигорск