Теория

Показательное (экспоненциальное) распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятностей имеет вид

clip_image002

Кривая плотности clip_image004и график функции распределения clip_image006случайной величины Х показан на рисунке 3.21 а):

 
 

Рис.3.21

clip_image008clip_image010

Функция clip_image006[1] (рисунок 3.21 б) получается путем интегрирования clip_image004[1]:

clip_image012

При x < 0 clip_image014 Найдем M(x) и D(x): clip_image016

таким образом, clip_image018; clip_image020 Применяя дважды формулу интегрирования по частям в последнем интеграле, окончательно получим:

clip_image022

т.е. clip_image024 Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по показательному закону, в интервал (a,b) равна

clip_image026

Замечание. Случайные величины с показательным законом распределения реализуются в теории массового обслуживания, в теории надежности, в физике при оценке длительности работы физических приборов. В последнем случае, при определении времени безотказной работы прибора, функция clip_image028 (вероятность отказа прибора за время t) называется функцией надежности.

Пример. Дана функция clip_image030

При каком значении постоянной a функция f(x) является плотностью вероятности некоторой случайной величины X. Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в промежуток [0; 2] двумя способами: на основе f(x) и на основе F(x).

Решение. Для определения a используется условие нормировки плотности вероятности:

clip_image032.

Следовательно, функция f(x) имеет вид:

clip_image034

Это есть функция распределения для показательного закона. Получим интегральную функцию:

clip_image036

clip_image038

Таким образом:

clip_image040

clip_image042

вероятность, полученная по функции f(x).

clip_image044

вероятность, полученная по функции F(x).

Пермь Питер Пятигорск