Основные положения

Рассмотренные выше теоремы сложения и умножения вероятностей применяются в технике при расчёте надёжности функциональных цепей, включающих в свой состав последовательные и параллельные участки соединения (формирования) элементов цепей (приборов). Простейшими моделями этих цепей являются электрические цепи, элементами которых являются независимо работающие приборы.

Рассмотрим сначала раздельно два участка электрической цепи, состоящей из 2-х элементов, соединённых последовательно и параллельно.

Предположим, что каждый прибор А₁, А₂ в последовательном соединении (рис. 1.15а) и приборы В₁, В₂ – в параллельном соединении (рис. 1.15б) работают независимо и каждый из них может либо пропускать ток (прибор испра-вен), либо не пропускать (прибор неисправен).

Пусть события А₁, А₂ и В₁, В₂ соответствуют обозначениям приборов и обозначают их исправность. Пусть также событие С – обозначает исправность последовательной цепи, а событие D – параллельной. Тогда С = А₁ ∙ А₂, D = В₁ + В₂. Подчеркнем, что событие D равно сумме событий В₁ и В₂ , так как В₁ + В₂ в силу параллельности соединения элементов В₁ и В₂ означает исправную работу хотя бы одного из элементов. Для соответствующих вероятностей по теореме умножения независимых событий А₁, А₂ и по теореме сложения совместных событий В₁, В₂ получим:

р(С) = р(А₁)∙р(А₂), р(D) = р(В₁)+р(В₂) – р(В₁ ∙ В₂) = р(В₁) + р(В₂) – р(В₁) ∙ р(В₂).

Последнюю формулу можно записать в эквивалентном виде:

р(D) = 1 – р() ∙ р().

Полученные соотношения для р(С) и р(D) обобщаются на произвольное число последовательно и параллельно соединённых элементов (рис.1.16).

р(С) = р(А₁) ∙ р(А₂) … р(А_n),

р(D) = 1 – р() ∙ р() … р().

Реальные цепи содержат в своём составе совокуп-ности последовательных и параллельных участков.