Задачи

Наивероятнейшее число наступления события в схеме Бернулли

Определение. Число k0 наступления события А в n независимых испытаниях, образующих схему Бернулли, называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Pn(k0), по крайней мере не меньше вероятности других событий Pn(k) при любых k.

Для определения наивероятнейшего числа k0 рассмотрим систему неравенств

clip_image002 (2.5)

C помощью формулы Бернулли и формулы числа сочетаний для первого неравенства из (2.5) получим

clip_image004

Но clip_image006 Подставляя эти выраже-ния в неравенство имеем

clip_image008

clip_image010

Преобразуя аналогично второе неравенство из системы (2.5), получим k0 np + p. Объединяя полученные неравенства, приходим к двойному неравенству:

np qk0 np+ p . (2.6)

Отметим, что в силу того, что разность np + р – (npq) = p + q = 1, то всегда существует целое число k0, удовлетворяющее неравенству (2.6). При этом, если число np + p – целое, то наивероятнейших чисел два k0 = np+ p и k0 = np – q, а если число np+ p не целое, то k0 равно целой части этого числа k0 = [np+ p].

Пример 2. По данным примера 1 найти k0 наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 4–х отобранных и вероятность появления k0 бракованных деталей.

Решение по формуле (2.6) получим 4 × 0,1 – 0,9 ≤ k0 ≤ 4 × 0,1 + 0,1 или — 0,5 ≤ k0 ≤ 0,5; k0 = 0 , а его вероятность P4(0) = 0,6561 (получено в примере 1).

Пример 3. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения четверки было равно 8?

Решение. В данной задаче вероятность выпадения любой грани с числом от 1 до 6 clip_image012 Число k0 по условию задачи равно 8. По формуле (2.6) получим

clip_image014

Таким образом, кость необходимо подбросить от 47 до 53 раз (включительно).

Пермь Питер Пятигорск