Нормальное распределение (закон Гаусса)

1. Общие положения

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

(3.20)

где а – произвольный, а – положительный параметры.

Закон (распределение) Гаусса имеет огромное значение в теории вероятностей и её приложениях. Основное отличие этого закона от рассмотренных выше законов заключается в том, что он является предельным законом, к которому при некоторых условиях приближаются другие законы распределения. Нормальное распределение считается заданным, если заданы его параметры a, σ. Оно позволяет анализировать случайные погрешности измерений изготовленных изделий, осуществлять контроль технологических процессов, анализировать ошибки стрельбы, исследовать различные классы шумов радиотехнических устройств и др. В частности, это распределение позволяет определять вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал, определять вероятность отклонения размеров изделий от их средних значений (математических ожиданий), вычислять интервалы, в которых будут заключаться размеры изделий, если задана некоторая вероятность, и другие задачи – прямые и обратные, связанные с использованием формулы (3.20) и вытекающих из неё других формул.

Покажем, что функция f(x) удовлетворяет основному свойству плотности распределения – условию нормировки: .

Кроме того, f(x) > 0 в силу свойства показательной функции и f(x) – непрерывна при . Кривая, соответствующая (3.20) называется кривой Гаусса, и она имеет вид, показанный на рисунке 3.22.

Функция распределения имеет вид .

Параметр a характеризует сдвиг кривой Гаусса вправо (a > 0) или влево (a < 0). Если a = 0, а σ = 1, то точка максимума располагается на оси OY, и нормальное распределение тогда называется стандартным. Для такого распределения плотность выражается формулой: . В этом случае совпадает с функцией Гаусса, которая использовалась ранее при вычислении вероятности по формулам Лапласа (см. подраздел 2.6.2).

Установим смысл параметров a и σ, определяющих нормальное распределение. С этой целью необходимо найти M(x) и D(x) с использованием функции f(x) .

Таким образом, a = M(x). (Первый интеграл в преобразуемом выражении равен нулю в силу нечетности функции и симметрии пределов интегрирования относительно начала координат).

Аналогично вычисляется и дисперсия, соответствующая нормальному распределению с f(x) (3.20).

Таким образом, , а – среднеквадратичное отклонение ( как параметр нормального распределения равен σ как среднеквадратичному отклонению).

Замечание. Начальный момент, равный медиане, для нормального распределения равен a, а коэффициент асимметрии A = 0 и коэффициент «островершинности» E = 0. Поэтому кривая Гаусса симметрична относительно прямой x = a.

2. Исследование поведения функции f(x) нормального распределения

1) Функция f(x) > 0 при всех , т.е. график f(x) расположен выше оси абсцисс.

2) , т.е. ось абсцисс является горизонтальной асимптотой f(x).

3) при x=a и при x<a, при x>a. Таким образом, в точке x = a реализуется максимум f(x) и точка максимума есть (см. рисунок 3.23).

4) Как было отмечено выше, график функции f(x) симметричен относительно прямой x=a т.к. разность x – a в формуле для f(x) возведена в квадрат.

5) ;

Таким образом, в точках , расположенных симметрично относительно прямой x = a, функция f(x) имеет перегиб, т.е. точками перегиба являются

.

6) Влияние изменения параметров a и на поведение кривой f(x).

Изменение параметра а не изменяет форму кривой Гаусса, а приводит только к сдвигу ее вдоль оси (рисунок 3.23 a).

Рис. 3.23

Параметр σ изменяет точку максимума (см. п.3) , т.е. чем больше σ, тем ближе расположена точка максимума к оси Ox. Кроме того, чем меньше параметр σ, тем ближе расположены точки перегиба к прямой x = a и тем выше эти точки (рисунок 3.23 б).