Рассмотрим распределение для независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (0 < р < 1), и испытания заканчиваются, как только появится событие А, т.е., если событие А появилось в k–ом испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось. Полагая k = 1, 2, … , в условияx геометрического распределения для вероятностей ...
Пусть заданы натуральные числа m, n, s ( m≤ s ≤ n ). Если возможными значениями дискретной случайной величины Х являются 0, 1, 2, ..., m, а соответствующие им вероятности определяются по формуле то говорят, что случайная величина Х имеет гипергеометрический закон распределения.
Если возможными значениями дискретный случайной величины Х являются 0, 1, 2,…, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли Рn (k) = , k = 0, 1,…, , где q = 1– p, то говорят, что случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения. Предельным для биномиального закона распределения при , при является закон распределения Пуассона. Для данного ...
1. Функция распределения есть функция не отрицательная, заключенная между 0 и 1, т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1. Это свойство вытекает из определения F(x) как вероятности. Рис. 3.6 2. Функция распределения есть неубываю-щая функция, т.е. F(x2) ≥ F(x1), если x2 > x1. Действительно, пусть x1 < x2. Тогда P(X< x2) = P(X<x1) + P(x1≤ x<x2). Отсюда следует, что . . 3. ...
Задание случайной величины её законом распределения не обладает общностью, так как его нельзя использовать, например, для непрерывных случайных величин. Кроме того, даже для дискретных случайных величин закон распределения не удовлетворяет практическим требованиям. Например, с точки зрения практики событие, состоящие в том, что некоторый прибор проработает, например, 1000 ...
В главе 1 были рассмотрены случайные события и правила определения их вероятностей. Наряду со случайными событиями в теории вероятностей вводится в рассмотрение очень важное понятие случайной величины. Приведем примеры, поясняющие понятие случайной величины. Пример 1. Число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, ...
1. По данным, приведенным в условии задачи, выделяем значения, k1, k2, p и находим npq. Если npq ≥ 20, то переходим к n.2 вычисления вероятности Pn (k1 ≤ k ≤ k2) по формуле Муавра - Лапласа. 2. Определяются по формулам для x1 и x2 их значения и по таблице приложения 2 находятся значения Ф(х1), Ф(х2). 3. Учитывая свойства Ф(х), получаем значение Pn (k1 ≤ k ≤ k2 ) по формуле ...
В тех случаях, когда в задаче требуется вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появляется не менее k1 раз и не более k2 раз (Pn(k1 ≤ k ≤ k2 )) при достаточно большом n, то необходимо использовать приближенную формулу , (2.10) где При этом предполагается, что вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и ...
В практике применения приближенных формул имеют место случаи, когда число испытаний n велико, а величина вероятности p не стремится к 0, т.е. p не близка к 0. Тогда условие теоремы Пуассона не выполняется, и для вычисления вероятности Pn(k) биномиального типа используются локальная и интегральная теорема Муавра–Лапласа. Теорема (локальная) Муавра–Лапласа. Если вероятноcть р ...
Вычисление Pn(k) при больших значениях n и k приводит к большим вычислительным сложностям. Затруднения возрастают также в связи с воз-можными малыми значениями вероятности p, входящими в формулу Бернулли. Поэтому возникает необходимость получения более простых приближенных формул вычисления вероятности Pn(k). Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и ...
1. Проанализировать условие поставленной задачи и на основе этого анализа установить, что в задаче реализуется схема Бернулли, т.е. : — события, соответствующие опытам α1, α2, … , αn, о которых указано в задаче, независимы; — опыты проводятся при неизменном комплексе условий их осуществлений; — в простейшем случае вероятности наступления события А в n опытах p = const. 2. В ...
Ранее в п. 1.4 введены понятия зависимых и независимых событий. С понятием независимых событий связано и имеет широкое применение понятие независимых опытов или испытаний. Опыты α1, α2, … , αn называются независимыми, если любая комбинация их исходов является совокупностью независимых событий. Иначе, если в задаче проводится ряд многократно повторяющихся испытаний α1, α2, …, ...
Теорема гипотез, приводящая к получению формул Бейеса (английский математик (1702 – 1761)), является следствием теоремы о полной вероятности. Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до испытания, по результатам проведённого испытания, в итоге которого появилось событие А. Томас Бейес (1702 – 1761) Теорема гипотез. Пусть в условиях ...
На практике часто необходимо определить вероятность интересующего события, которое может произойти с одним из событий, образующих полную группу. Следующая теорема, являющаяся следствием теорем сложения и умножения вероятности, приводит к выводу важной формулы для вычисления вероятности подобных событий. Эта формула называется формулой полной вероятности. Пусть H1, H2, ... , Hn ...
Рассмотренные выше теоремы сложения и умножения вероятностей применяются в технике при расчёте надёжности функциональных цепей, включающих в свой состав последовательные и параллельные участки соединения (формирования) элементов цепей (приборов). Простейшими моделями этих цепей являются электрические цепи, элементами которых являются независимо работающие приборы. Рассмотрим ...
Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е. р(А+В) = р(А) + р(В) – р(А∙В) . (1.11) Доказательство. Действительно, представим событие А + В , состоящее в наступлении хотя бы одного из двух событий А и В, в виде суммы трёх несовместных событий: А+В = А∙+∙В+А∙В. Тогда по теореме сложения: р(А+В) ...
Несколько событий А1, А2 ... Аn называются независимыми (зависимыми) в совокупности, если независимы (зависимы) любые два из них и независимы (зависимы) любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. Например, три события А, В, С независимы (независимы в совокупности), если независимы события А и В, А и С, В и С, А и В × С, В и А× С, С и А× В. Для ...
Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности. Определение. Если вероятность события В находится при условии, ...
Пусть события А и В ― несовместные, причем вероятности этих событий известны. Вопрос: как найти вероятность того, что наступит одно из этих несовместных событий? На этот вопрос ответ дает теорема сложения. Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: p(А + В) = p(А) + p(В) (1.6) Доказательство. Действительно, пусть ...
При решении вероятностных задач с использованием классического определения вероятности часто приходится использовать основные правила и формулы, относящиеся к комбинациям объектов. Раздел математики, называемый комбинаторикой, устанавливает правила выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам. Так как при решении задач комбинаторики ...