При решении практических задач по контролю технологических процессов возникают задачи вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеивания, т.е. математического ожидания . Данный интервал длины берется на числовой оси x, где значение x соответствуют случайной величине X. В этом случае ...
В соответствии со свойством 2 плотности распределения вероятность попадания случайной величины в заданный интервал выражается формулой: . Для нормального распределения получим: Используя функцию Лапласа получим (3.21) Формула (3.21) используется для вычисления вероятности попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. При этом значения при или отыскиваются ...
1. Общие положения Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид: (3.20) где а – произвольный, а – положительный параметры. Закон (распределение) Гаусса имеет огромное значение в теории вероятностей и её приложениях. Основное отличие этого закона от рассмотренных выше законов заключается в том, что он ...
Рассматриваемое ниже нормальное распределение находит широкое применение в анализе погрешностей при изготовлении изделий различных видов, в том числе и изделий горного производства. Контроль изготовленных изделий связан с их измерениями. Поэтому необходимо предварительно познакомится с типами ошибок. Измерение любых объектов (линейных размеров изделий, углов, масс, площадей, ...
Закону распределения Максвелла (1831–1879, шотландский физик, математик, астроном), относящемуся к модулю скорости молекулы газа, соответствует плотность вероятности где m – масса молекулы, K – постоянная Больцмана (1844 – 1906, австрийский физик), T – абсолютная температура. Функция F(x) находится путем интегрирования f(x): Выполняя замену , получим: Замечание. ...
Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятностей имеет вид Кривая плотности и график функции распределения случайной величины Х показан на рисунке 3.21 а): Рис.3.21 Функция (рисунок 3.21 б) получается путем интегрирования : При x < 0 Найдем M(x) и D(x): таким образом, ; ...
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю на остальной части числовой оси Ox, т.е. Из условия нормировки функции f(x) найдем константу C: , таким образом График f(x) для равномерного распределения случайной величины Х изображен на рисунке 3.19: ...
Можно показать, что для гипергеометрического распределения с вероятностями , где ,m,n – натуральные числа)
Геометрическому распределению со случайной величиной Х: 1,2,3… (см. типовой пример 3 подразделе 3.4) соответствует ряд распределения: X 1 2 3 … m … P p qp q2p … qm-1p … Найдем M(X) и D(X) для данного распределения. , тогда ; , следовательно, Таким образом, M(X) = 1 / p; D(X) = q / p2; . Так, для примера 3, приведенного в подразделе 3.4 для геометрического ...
Данное распределение является предельным для биномиального распределения, когда n→∞, p→0, причем n·p = const = λ, где λ – параметр. Случайной величине X, распределенной по закону Пуассона, соответствует ряд распределения (): X 0 1 2 … m … P e–λ (λe–λ)/(1!) (λ2 e–λ)/(2!) … (λm e–λ)/(m!) … Для этого ряда Производящая функция для данного распределения ...
В соответствии с данным выше определением биноминальному закону распределения, в котором вероятность появления события А равна соответствует ряд распределения: X 0 1 2 … m … n P qn Cn1p1qn-1 Cn2p2qn-2 … Cnmpmqn-m … pn Для этого ряда а функция распределения имеет вид Опираясь на свойства M(X) и D(X) и на то, что Xi – число появления события А в каждом ...
Производящая функция используется для определения основных числовых характеристик дискретных случайных величин в случае, когда . Рассмотрим дискретный ряд распределения: X 0 1 2 … n … P p0 p1 p2 … pn … Для этого ряда производящей функцией называется степенной ряд: (3.17) где – произвольный параметр, такой, что Здесь вероятности p0, p1, ..., pn,…– являются ...
Модой дискретной случайной величины называется значение этой величины, принимаемое с наибольшей вероятностью в сравнении с двумя соседними значениями. Мода обозначается через . Для непрерывной случайной величины мода — точка максимума (локального) плотности . Если мода единственна, то распределение случайной величины называется унимодальным, в противном случае — ...
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. . Действительно, , т.к. свойству 1 математического ожидания. 2. Постоянный множитель, входящий под знак дисперсии, можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. . Действительно, 3. Дисперсия суммы двух (и более) независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин т.е. . Действительно, по ...
Математическое ожидание не дает полного представления о законе распределения случайной величины, о чем свидетельствует следующий пример. Пример. Заданы две дискретные случайные величины законами распределения: –2 0 2 и –100 0 100 0,4 0,2 0,4 0,3 0,4 0,3 Для этих законов распределения получаются и : Следовательно, рассматриваемые законы имеют ...
Здесь рассматриваются наиболее важные свойства математического ожидания для дискретных случайных величин. 1). Математическое ожидание для закона распределения с постоянной случайной величиной равно этой постоянной величине, т.е. Действительно, . Таким образом, эта случайная величина принимает лишь одно значение с вероятностью . 2).Постоянный множитель можно выносить за знак ...
Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины Х с законом распределения … … где , называется число, равное сумме парных произведений всех значений этой случайной величины на соответствующие вероятности. Иначе, математическое ожидание – это среднее арифметическое значе-ние случайной величины Х, взвешенное по вероятностям её ...
Закон распределения дает полную характеристику случайной величины с вероятностной точки зрения. Но иногда при решении практических задач нужно знать только некоторые количественные (числовые) характеристики случайной величины, которые характеризуют отдельные, наиболее существенные свойства закона распределения случайной величины. Наиболее важными и широко распространенными ...
1. Плотность неотрицательная функция, т.е. . Действительно, – не убывает, поэтому . График (кри-вая распределения) располагается выше оси абсцисс, а плотность может принимать любые, в том числе и очень большие значения. 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от , взятому в пределах от до , т.е. Это свойство ...
Дифференциальной функцией распределения (плотностью распределения или просто плотностью вероятностей) непрерывной случайной величины называется производная интегральной функции распределения, т.е. О случайной величине говорят, что она имеет распределение (или распределена) с плотностью на определенном участке оси абсцисс. Подчеркнем, что функция существует только для ...